√ Perubahan Pada Koefisien Tujuan Dan Hambatan Dalam Analisis Sensitivitas

Daftar Isi Bab Analisis Sensitivitas :

1. Pengertian Analisis Sensitivitas
2. Analisis Sensitivitas Untuk Mengisi Tabel Optimum
3. Perubahan Pada Koefisien Tujuan
4. Perubahan Pada Kendala
5. Penambahan Variabel Keputusan Baru
6. Penambahan Kendala Baru

Perubahan Pada Koefisien Tujuan

Perubahan pada koefisien tujuan pada variabel dasar (basis)

Diketahui : Fungsi tujuan : Maksimumkan Z = 800A + 400B + 600C

Basis	Z	A	B	C	S1	S2	S3	Solusi
Z	1	0	384	0	0	160	24	68.000
S1	0	0	0,64	0	1	-0,4	0,04	130
A	0	1	0,08	0	0	0,2	-0,12	10
C	0	0	1,2	1	0	0	0,2	100

Pada tabel simpleks optimal diatas, yang menjadi variabel dasar (basis) ialah variabel A dan C, sedangkan yang bukan merupakan variabel dasar (basis) ialah B, S₁, S₂, dan S₃.

Besarnya koefisien tujuan untuk variabel basis ialah 800 dan 600. Apabila besarnya koefisien A (C₁) dan C (C2) dinaikkan atau diturunkan dalam jumlah tertentu maka ada kemungkinan A atau C tidak menguntungkan untuk diproduksi.

Untuk itu pada kepingan ini dianalisis seberapa besar kenaikan atau penurunan yang masih sanggup ditolerir sehingga produk A dan C tetap diproduksi (dengan perubahan koefisien tujuan maka kuat terhadap solusi optimal).

Urutan dalam variabel dasar pada tabel simpleks diatas ialah S₁, A, dan C. Dengan demikian urutan itu menjadi dasar perhitungan untuk mencari besarnya perubahan pada koefisien tujuan.

Jika terjadi perubahan pada koefisien fungsi tujuan A :

Perkalian matriks dilakukan dengan mengalikan vektor baris dengan vektor kolom pada variabel non-basis, hasil perkalian tersebut dikurangkan dengan koefisien non-basis tersebut. Angka yang berubah

Syarat tabel optimum ialah B ≥ 0, sehingga 0,08 C₁ + 320 ≥ 0 atau C₁ ≤ 4000

Dari hasil perhitungan diatas sanggup disimpulkan bahwa tabel akan tetap optimum jikalau koefisien C₁ berada dalam interval 0 ≤ C₁ ≤ 1000. Tabel akan tetap optimum apabila koefisien C₁ dinaikkan menjadi 1000 (dinaikkan 200) atau diturunkan menjadi 0 (diturunkan 800), akan tetapi tabel tidak lagi akan menjadi optimum apabila koefisien C₁ dinaikkan melebihi 1000.

Contoh :

1. Koefisien C₁ naik dari 800 menjadi 900

Kesimpulan :

Dari hasil perhitungan variabel non-basis seluruhnya menghasilkan angka nyata atau ≥ 0, berarti tabel optimum tidak berubah (tetap). Dengan demikian besarnya nilai A = 10 dan C = 100 tidak berubah. Perubahan terjadi pada Z sebagai jawaban perubahan koefisien C₁ dari 800 ke 900. Nilai Z yang gres ialah :

Z = 900A + 400B + 600C

Z = 900(10) + 400(0) + 600(100)

Z = 69000

2. Koefisien C₁ naik dari 800 menjadi 1100

Kesimpulan :

Dari hasil perhitungan variabel non-basis, pada variabel S₃ didapatkan nilai negatif, dengan demikian tabel sudah tidak optimum lagi, oleh alasannya itu perlu dilakukan sanksi pada kolom S₃ tersebut. Besarnya variabel semua, yaitu A = 10 dan C = 100 juga mengalami perubahan.

Basis	Z	A	B	C	S1	S2	S3	Solusi	Indeks
Z	1						-12
S1	0	0	0,64	0	1	-0,4	0,04	130	3.250
A	0	1	0,08	0	0	0,2	-0,12	10	-83,33
C	0	0	1,2	1	0	0	0,2	100	500

Setelah itu, lakukan penyelesaian dengan metode simpleks menyerupai yang sudah dibahas pada topik sebelumnya wacana : Pemecahan Program Linear Metode Simpleks.

Sehingga didapatkan tabel simpleks optimum yang baru:

Basis	Z	A	B	C	S1	S2	S3	Solusi
Z	1	0	480	60	0	220	0	77.000
S1	0	0	0,4	-0,2	1	-0,4	0	110
A	0	1	0,8	0,6	0	0,2	0	70
S3	0	0	6	5	0	0	1	500

Dari tabel simpleks optimal yang gres diatas terdapat perubahan variabel, sebelumnya A = 10 dan C = 100 menjadi A = 70 dan C = 0. Sementara itu nilai maksimum Z maksimum mengalami kenaikan semula Rp.68.000,- menjadi Rp.77.000,-

Jika terjadi perubahan pada koefisien fungsi tujuan C :

Caranya sama menyerupai perubahan pada koefisien fungsi tujuan A, hanya saja, angka yang berubah ialah koefisien dari fungsi tujuan C.

Dari hasil perhitungan di atas sanggup disimpulkan bahwa tabel akan tetap optimum jikalau koefisien C₃ berkembang menjadi C₃ ≥ 480. Tabel akan tetap optimum jikalau koefisien C₃ berada dalam interval diatas, tetapi apabila C₃ < 480 berarti tabel sudah tidak optimum lagi dan harus di sanksi ulang.

Contoh :

1. Koefisien C₃ berubah dari 600 menjadi 500

Kesimpulan :

Dari hasil perhitungan variabel non-basis seluruhnya menghasilkan angka nyata berarti tabel optimum, jadi solusi optimum tidak berubah (tetap). Dengan demikian besarnya nilai A = 10 dan C = 100 (tidak berubah). Perubahan terjadi pada nilai Z sebagai jawaban perubahan koefisien C₃ dari 600 ke 500. Nilai Z yang gres ialah :

Z = 900A + 400B + 500C

Z = 900(10) + 400(0) + 500(100)

Z = 59000

2. Koefisien C₃ turun dari 600 menjadi 450

Kesimpulan :

Dari hasil perhitungan variabel non-basis, pada variabel S₃ terdapat nilai negatif, dengan demikian tabel sudah tidak optimum lagi, oleh alasannya itu perlu dilakukan sanksi pada kolom S₃ tersebut. Besarnya variabel semula, yaitu A = 10 dan C = 100 juga mengalami perubahan.

Basis	Z	A	B	C	S1	S2	S3	Solusi	Indeks
Z	1						-6
S1	0	0	0,64	0	1	-0,4	0,04	130	3.250
A	0	1	0,08	0	0	0,2	-0,12	10	-83,33
C	0	0	1,2	1	0	0	0,2	100	500

Setelah itu dilakukan penyelesaian dengan metode simpleks menyerupai yang sudah dibahas pada topik sebelumnya wacana : Pemecahan Program Linear Metode Simpleks.

Sehingga didapatkan tabel simpleks optimum yang baru:

Basis	Z	A	B	C	S1	S2	S3	Solusi
Z	1	0	240	30	0	160	0	56.000
S1	0	0	0,4	-0,2	1	-0,4	0	110
A	0	1	0,8	0,6	0	0,2	0	70
S3	0	0	6	5	0	0	1	500

Dari tabel simpleks optimal yang gres di atas didapatkan perubahan variabel yang sebelumnya A = 10 dan C = 100 menjadi A = 70, dan C = 10. Sementara itu, nilai Z maksimum mengalami penurunan semula Rp.68.000,- menjadi Rp.56.000,-

Perubahan pada koefisien tujuan pada bukan variabel dasar (non-basis)

Pada tabel sebelum-sebelumnya, sanggup dilihat bahwa A dan C ialah variabel basis, variabel non-basis di tabel tersebut ialah variabel B. Variabel non-basis biasanya mempunyai laba yang tidak ekonomis. Namun jikalau koefisien dari B dinaikkan dalam jumlah tertentu, maka ada kemungkinan variabel B akan diproduksi.

Dari hasil perhitungan di atas, diketahui apabila variabel B dinaikkan hingga dengan 4240, maka variabel B masih belum hemat untuk diproduksi (Tabel optimum tidak berubah). Tetapi, apabila dinaikkan diatas 4240 maka variabel ini akan hemat untuk diproduksi (tabel optimum akan berubah).

Contoh :

Koefisien B dinaikkan dari 400 ke 600

Kesimpulan :

Koefisien B bernilai positif, berarti tabel yang ada telah optimal atau perubahan pada variabel non-basis tidak mempengaruhi tabel optimum.

Koefisien B dinaikkan menjadi 4300

 

Kesimpulan :

Koefisien B bernilai negatif, jadi tabel sudah tidak optimum, maka itu diperlukanlah penyelesaian dengan melaksanakan sanksi pada kolom variabel B dengan metode simpleks biasa. Untuk teknik pemecahannya sanggup dipelajari di Pemecahan Program Linear Metode Simpleks.

Basis	Z	A	B	C	S1	S2	S3	Solusi	Indeks
Z	1		-60
S1	0	0	0,64	0	1	-0,4	0,04	130	203,13
A	0	1	0,08	0	0	0,2	-0,12	10	125
C	0	0	1,2	1	0	0	0,2	100	83,33

Dengan perhitungan metode simpleks, maka didapatkan tabel optimumnya ialah sebagai berikut :

Basis	Z	A	B	C	S1	S2	S3	Solusi
Z	1	0	0	2.913	0	160	627	360.983
S1	0	0	0	-0,53	1	-0,4	-0,07	76,67
A	0	1	0	-0,07	0	0,2	-0,13	3,33
B	0	0	1	0,83	0	0	0,17	83,33

Dari tabel simpleks optimal diatas, maka sanggup dilihat bahwa, jikalau koefisien B dinaikkan menjadi 4.300, maka nilai Z akan berubah. Dimana semula besarnya A = 10,  B = 0 dan C = 100 dengan nilai Z sebesar Rp.68.000,-. Berubah menjadi A = 3,33, B = 83,33 dan C = 0 sehingga didapatkan nilai Z sebesar Rp. 360.983,-

Perubahan pada koefisien tujuan dan pengaruhnya terhadap variabel dual

Sebelum lanjut ke topik ini, ada baiknya anda pelajari lebih lanjut tentang Teori dualitas. Seperti yang sudah dibahas sebelumnya bahwa perubahan pada koefisien tujuan baik basis atau non-basis sanggup mempengaruhi besarnya variabel keputusan (Z) jikalau perubahan tersebut tidak sesuai dengan kondisi yang diisyaratkan. Berbeda pada variabel dual, dimana perubahan pada koefisien tujuan kuat eksklusif terhadap perubahan variabel dual (walaupun perubahan tersebut masih dalam rentang yang diisyaratkan).  Nilai variabel dual sanggup dicari dengan cara mengalikan koefisien variabel dasar dengan matriks kunci.

Contoh :

Misalnya jikalau koefisien A dinaikkan menjadi 900 dan C menjadi 500. Berdasarkan hasil perhitungan diatas dimana :

A = C₁ ≤ 1.000

C = C₃ ≥ 480

Jadi, tabel optimum tidak akan berubah alasannya tidak perubahan masih dalam interval atau masih sesuai dengan syarat optimum. Hanya saja, berbeda dengan variabel dual-nya, variabel dual akan mengalami perubahan dimana :

Semula :

Nilai variabel dual semula Y1 = 0, Y2 = 160, dan Y3 = 24

Menjadi :

Dimana, nilai variabel dual menjadi Y1 = 0, Y2 = 180, dan Y3 = -8

Perubahan Pada Kendala

Perubahan pada pembatas kanan kendala

Perubahan pada pembatas kanan kendala, yang dimaksud pembatas kanan hambatan ialah angka yang menawarkan batas dari suatu persamaan, dan letaknya di kepingan kanan, contohnya menyerupai teladan dibawah :

Kendala :

2A + 2B + C ≤ 250

5A + 4B + 3C ≤ 350

6B + 5C ≤ 500

A,B,C ≥ 0

Dimana yang warna hijau ialah pembatas kanan kendala. Jika terjadi perubahan pada pembatas kanan hambatan maka akan berdampak pula pada nilai variabelnya dengan demikian nilai tujuan (Z) juga akan berubah. Untuk menghitung nilai Z nya sanggup dilakukan dengan mengalikan matriks kunci dengan pembatas kanan kendala.

Untuk mengetahui seberapa besar perubahan pada suatu hambatan tanpa mengubah solusi optimalnya sanggup dilakukan dengan cara berikut :

Maka :

1. 270 - 0,4Δ ≥ 0
   Δ ≤ 675
2. 0,2Δ - 60 ≥ 0
   Δ ≥ 300

Dari hasil perhitungan diatas, maka sanggup disimpulkan bahwa hambatan ke-2 sanggup berkembang menjadi 300 ≤ Δ ≤ 675 yang tidak mengubah tabel optimum. Berdasarkan soal di atas dimana besarnya hambatan ke-2 = 350, maka menurut persamaan yang telah dicari, maka hambatan ke-2 sanggup dikurangi hingga 50 atau ditambah hingga dengan 325 supaya tabel tetap optimum. Tetapi, jikalau hambatan ke-2 dikurangi atau ditambah lebih dari interval yang ada, maka penyelesaian tersebut sudah tidak optimum lagi.

Contoh :

Jika hambatan ke-2 berkembang menjadi 400, maka nilai variabel yang gres ialah :

Dengan perubahan pada hambatan ke-2 maka terjadi perubahan tingkat produksi menjadi A = 100, B = 20, dan C =100. Dengan demikian nilai Z meningkat pula dari yang sebelumnya Rp. 68.000,- menjadi :

Z = 800A + 400B + 600C

Z = 800 (110) + 400 (20) + 600 (100)

Z = 150.000

Kesimpulan :

Akibat dari kenaikan hambatan pembatas ke-2 dari 350 menjadi 400, maka akan terjadi kenaikan Z menjadi Rp. 156.000,-.

Perubahan pada koefisien kendala

Yang dimaksud dengan koefisien hambatan ialah angka-angka yang terletak pada suatu variabel. Dimana biasanya angka-angka ini terletak di sebelah kiri persamaan. Misalnya menyerupai teladan dibawah :

Z = 800A + 400B + 600C

Kendala :

2A + 2B + C ≤ 250

5A + 4B + 3C ≤ 350

6B + 5C ≤ 500

A,B,C ≥ 0

Apabila terjadi perubahan pada koefisien kendala, contohnya pada variabel B yang semula mempunyai koefisien 2, 4, dan 6 berkembang menjadi 3,5 dan 4. Langkah pertama yang harus dilakukan ialah memastikan apakah perubahan koefisien hambatan tersebut kuat terhadap hasil optimum atau tidak. Untuk mengujinya sanggup dilakukan dengan mengubahnya ke bentuk dual.

Z = 800A + 400B + 600C

Kendala B berkembang menjadi 3,5, dan 4 :

2A + 3B + C ≤ 250

5A + 5B + 3C ≤ 350

4B + 5C ≤ 500

A,B,C ≥ 0

W = 250 Y1 + 350 Y2 + 500 Y3

Bentuk dual :

2 Y1 + 5 Y2 ≥ 800

3 Y1 + 5 Y2 + 4 Y3 ≥ 400

Y1 + 3 Y2+ 5 Y3 ≥ 600

Untuk cara mengubah bentuk primal ke dual sanggup dipelajari pada Teori Dualitas | Primal-Dual.

Dengan demikian, sehabis diubah menjadi bentuk dual, maka persamaan B nya dalam bentuk dual menjadi : 3 Y1 + 5 Y2 + 4 Y3 ≥ 400. Lakukan pengujuan dengan subtitusi nilai variabel dual ke dalam persamaan B dalam bentuk dual. Seperti yang sudah dibahas sebelumnya dimana nilai variabel dualnya ialah :

Sehingga sanggup dihitung nilai dualnya :

3 (0) + 5 (160) + 4 (24) - 400 = 496

Karena nilai dualnya bernilai positif, sanggup disimpulkan bahwa perubahan koefisien hambatan tidak kuat terhadap hasil optimum.

Akan tetapi contohnya koefisien B berkembang menjadi 3, 1, dan 9, maka nilai dualnya akan berkembang menjadi :

3 (0) + 1 (160) + 9 (24) - 400 = -24

Berarti perubahan koefisien tujuan akan mengubah tabel optimum. Sehingga perlu dicari tabel optimum gres dimana angka-angka pada kolom B akan mengalami perubahan, dan sehabis itu gunakan metode simpleks untuk menciptakan tabel tersebut optimum. Nilai kolom B dicari dengan mengalikan matriks kunci dengan koefisien kolom B baru.

Basis	Z	A	B	C	S1	S2	S3	Solusi	Indeks
Z	1		-24
S1	0	0	2,96	0	1	-0,4	0,04	130	43,92
A	0	1	-0,88	0	0	0,2	-0,12	10	-11,36
C	0	0	1,8	1	0	0	0,2	100	55,55

Tabel optimalnya ialah :

Basis	Z	A	B	C	S1	S2	S3	Solusi
Z	1	0	0	0	10	152	24	65.052
B	0	0	1	0	0,34	-0,14	0,01	43,92
A	0	1	0	0	0,3	0,08	-0,11	48,65
C	0	0	0	1	-0,61	0,24	0,18	20,94

Kesimpulan :

Perubahan koefisien hambatan B menjadi 3, 1, 9 akan mengubah tabel optimum dan hasil optimum dimana sebelum perubahan koefisien hambatan nilai optimumnya ialah Rp. 68.000,- menurun menjadi Rp 65.052,-

Sumber http://www.dounkey.com