Formulasi dan Bentuk Umum Program Linear
Tujuan dari penelitian operasional ialah mengatasi masalah yang berkaitan dengan penggunaan sumber daya yang terbatas. Pemecahan masalah dimulai dengan membangun model matematis sebagai representatif dari suatu sistem nyata.
Tujuan pembuatan model ini ialah untuk memudahkan dan menganalisis sikap sistem konkret dalam rangka memperbaiki kinerjanya. Kompleksitas sistem konkret yang terdiri dari banyak variabel menyulitkan si pengambil keputusan untuk menciptakan model. Biasanya didalam suatu sistem konkret terdapat beberapa variabel yang dominan.
Oleh alasannya ialah itu, representasi dari sistem konkret hanya akan mempertimbangkan elemen atau variabel yang mendominasi sistem konkret tersebut. Tahapan pembuatan model inilah yang disebut sebagai sebuah seni dalam riset operasi.
Dalam model kegiatan linear, dikenal dua macam fungsi yaitu : fungsi tujuan (objective function) dan fungsi-fungsi batasan (constraint function).
Fungsi tujuan ialah fungsi yang menggambarkan tujuan atau sasaran yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya untuk memperoleh laba maksimal atau biaya minimal.
Sedangkan fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke banyak sekali kegiatan.
Setelah masalah diidentifikasi, tujuan atau sasaran yang ingin dicapai ditetapkan, maka langkah selanjutnya ialah formulasi model matematis yang mencakup 3 tahap berikut :
- Menentukan variabel keputusan (unsur-unsur dalam problem yang sanggup dikendalikan) dan lalu nyatakan dalam simbol matematis.
- Membentuk fungsi tujuan sebagai hubungan linear dari variabel keputusan.
- Menentukan semua hambatan atau batasan masalah tersebut dan ekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan yang merupakan hubungan linear dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya masalah tersebut.
Sebagai ilustrasi, berikut ini akan disajikan pola kasus yang mengatakan langkah-langkah formulasi dalam model kegiatan linear.
Contoh Formulasi Program Linear
Sebuah perusahaan kecil memproduksi empat jenis produk yang berbeda, yang masing-masing membutuhkan tiga macam materi baku yaitu materi A, B, dan C. Produk tersebut dikerjakan lewat 2 proses pengerjaan manual yaitu proses I dan II. Setiap unit produk ke I membutuhkan 10 ons materi A, 6 ons materi B, dan 12 ons materi C. Setiap unit produk II membutuhkan 8 ons materi A, 10 ons materi B, dan 9 ons materi C. Setiap unit produk III membutuhkan 6 ons materi A, 8 ons materi B, dan 5 ons materi C. Produk IV membutuhkan 9 ons materi A, 5 ons materi B, dan 6 ons materi C. Akibat keterbatasan gudang dan dana yang ada, maka materi baku yang disediakan tiap ahad ialah 120 kg materi A, 90 kg materi B, dan 125 kg materi C.
Setiap unit produk I membutuhkan waktu 4 jam pada proses I dan 2 jam proses II. Produk II setiap unit 3 jam pada proses I dan 4 jam proses II. Setiap unit produk III membutuhkan 2 jam proses I dan 3 jam proses II. Sedangkan produk IV setiap unitnya membutuhkan 6 jam proses I dan 5 jam proses II. Jumlah karyawan pada proses I sebanyak 10 orang, pada proses II sebanyak 12 orang. Perusahaan bekerja dengan 1 shift, mulai dari jam 08.00 hingga jam 16.00 dengan istirahat 1 jam mulai pukul 12.00-13.00, dan enam hari kerja dalam 1 minggu. Keuntungan per unit produk I,II,III,dan IV masing-masing sebesar Rp.2.000, Rp.1.900, Rp.1.600, dan Rp.2.100. Informasi dari bab pemasaran menyatakan berapa pun jumlah produk yang dibentuk perusahaan akan terserap seluruhnya oleh pasar. Formulasikan masalah tersebut !
Penyelesaian :
Satuan materi baku dibentuk dalam satuan ons. Jumlah jam kerja karyawan per ahad pada proses I sebesar : 10 orang x 7 jam kerja per hari x 6 jumlah hari kerja dalam 1 ahad = 420, dan pada proses II sebesar 12 orang x 7 jam kerja per hari x 6 jumlah hari kerja dalam 1 ahad = 504. Persoalan diatas sanggup ditabulasikan sebagai berikut :
| Sumber Daya | Produk I | Produk II | Produk III | Produk IV | Kapasitas |
|---|---|---|---|---|---|
| Bahan A | 10 | 8 | 6 | 9 | 1200 |
| Bahan B | 6 | 10 | 8 | 5 | 900 |
| Bahan C | 12 | 9 | 5 | 6 | 1250 |
| Jam Proses I | 4 | 3 | 2 | 6 | 420 |
| Jam Proses II | 2 | 4 | 3 | 5 | 504 |
| Laba/unit | 2000 | 1900 | 1600 | 2100 |
Perumusan problem tersebut sebagai berikut :
1. Variabel keputusan
Masalah tersebut terdiri dari 4 variabel yang mengatakan jumlah produk I, II, III, dan IV yang harus diproduksi oleh perusahaan. Jumlah tersebut sanggup ditunjukkan sebagai berikut :
X1 = jumlah produk I yang di buat
X2 = jumlah produk II yang di buat
X3 = jumlah produk III yang di buat
X4 = jumlah produk IV yang di buat
2. Fungsi tujuan
Tujuan masalah di atas ialah memaksimumkan laba total. Keuntungan total ialah jumlah laba yang diperoleh dari masing-masing produk. Keuntungan produk I ialah perkalian jumlah produk I dengan laba per unit produk I. Begitu pun laba produk II ialah jumlah produk II dengan laba per unit produk II, dan seterusnya. Sehingga fungsi tujuan masalah tersebut sanggup dirumuskan sebagai berikut :
Maks Z= 2000 X1 + 1900 X2 + 1600 X3 + 2100 X4
3. Fungsi kendala
Dalam masalah ini kendalanya ialah materi baku A, B, dan C serta jam kerja pada proses I dan II. Untuk menghasilkan 1 unit produk I diperlukan 10 ons materi A sehingga total materi baku A yang diperlukan ialah 10 X1. Dengan cara yang sama produk II membutuhkan 8 X2, produk III sebanyak 6 X3, dan produk IV sebanyak 9 X4. Jumlah materi baku A yang tersedia sebanyak 1200 ons (dari 120 kg menjadi ons). Penggunaan materi baku ini sanggup luwes, artinya sanggup dipakai secara penuh atau sebagian saja, atau secara matematis di tulis dengan tanda "≤". Sehingga hambatan materi baku A sanggup ditulis :
10 X1 + 8 X2 + 6 X3 + 9 X4 ≤ 1200
Dan dengan cara yang sama hambatan materi baku B, C, jam kerja proses I dan II sanggup ditulis sebagai berikut :
6 X1 + 10 X2 + 8 X3 + 5 X4 ≤ 900
12 X1 + 9 X2 + 5 X3 + 6 X4 ≤ 1250
4 X1 + 3 X2 + 2 X3 + 6 X4 ≤ 420
2 X1 + 4 X2 + 3 X3 + 5 X4 ≤ 504
4. Fungsi non-negativitas
Perlu diketahui bahwa masing-masing variabel perlu dibatasi hanya pada nilai positif, alasannya ialah mustahil menghasilkan produk dalam jumlah negatif. Kendala ini disebut hambatan non-negativitas dan secara matematis sanggup ditulis sebagai berikut :
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0, X4 ≥ 0
Umumnya masalah kegiatan linear memiliki hambatan non negatif. Namun pada kasus tertentu nilai negatif sanggup saja terjadi kalau variabel itu merupakan suatu tingkat seperti: tingkat pertumbuhan dan tingkat inflasi yang sanggup naik dan turun, nilai negatif mengatakan penurunan.
Kaprikornus masalah tersebut diatas sanggup diformulasikan sebagai model matematis sebagai berikut :
Fungsi tujuan :
Maks Z= 2000 X1 + 1900 X2 + 1600 X3 + 2100 X4
Fungsi hambatan :
10 X1 + 8 X2 + 6 X3 + 9 X4 ≤ 1200
6 X1 + 10 X2 + 8 X3 + 5 X4 ≤ 900
12 X1 + 9 X2 + 5 X3 + 6 X4 ≤ 1250
4 X1 + 3 X2 + 2 X3 + 6 X4 ≤ 420
2 X1 + 4 X2 + 3 X3 + 5 X4 ≤ 504
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0, X4 ≥ 0
Setelah diformulasi, maka persamaan-persamaan yang didapat di atas sanggup dimasukkan untuk perhitungan baik dengan metode grafik maupun metode simpleks. Untuk lebih terang wacana teknik perhitungannya sanggup dibaca di : Program Linear : Metode Grafik dan Simpleks
Sumber http://www.dounkey.com